每日一题[2699]转移位置

如图，在四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，棱 $A A_{1} \perp A B C D$，且底面 $A B C D$ 为菱形，$A A_{1}=\dfrac{5}{2}$，$A B=2$，$\angle B A D=60^{\circ}$，$P$ 为 $B C$ 中点，$M$ 在棱 $A A_{1}$ 上，$Q$ 在四边形 $A B C D$ 内部及边界运动（不与 $P$ 重合），且 $P Q \perp A A_{1} C_{1} C$，异面直线 $P Q$ 与 $B_{1} M$ 所成角的余弦值为 $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$，则 $M Q$ 的取值范围为_______．

答案    $\left[\sqrt 7,\dfrac{\sqrt{29}}{2}\right]$．

解析    取 $CD$ 的中点 $H$，连接 $PH$，则 $Q$ 在线段 $PH$ 上（不包含端点 $P$），连接 $B_1D_1$，有 $PQ\parallel B_1D_1$，于是 $|\cos\angle D_1B_1M|=\dfrac{\sqrt 2}4$．

设 $|A_1M|=x$，则

$$|B_1M|=|D_1M|=\sqrt{x^2+4},$$ 因此 $$|\cos\angle D_1B_1M|=\dfrac{\dfrac 12|B_1D_1|}{|B_1M|}=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}},$$ 解得 $x=2$，进而 $$|MQ|^2=|AQ|^2+|AM|^2=\left(|PQ|-\dfrac 12\right)^2+\left(\dfrac{3\sqrt 3}2\right)^2+\left(\dfrac 12\right)^2=\left(|PQ|-\dfrac 12\right)^2+7,$$ 而 $|PQ|$ 的取值范围是 $\left(0,1\right]$，因此 $|MQ|$ 的取值范围是 $\left[\sqrt 7,\dfrac{\sqrt{29}}{2}\right]$．