每日一题[2675]恰如其分

已知 $F_1,F_2$ 是双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}4=1$ 的左、右焦点，点 $A$ 在双曲线右支，$P\left(\sqrt 5,2\right)$ 为一定点，若对任意实数 $m$，直线 $2x+y+m=0$ 与双曲线 $C$ 至多有一个公共点，则 $|AP|+|AF_2|$ 的最小值为_______．

答案    $2\sqrt 6-2$．

解析    根据题意，直线 $2x+y+m=0$ 与双曲线的渐近线平行（或重合），于是 $\dfrac ba=2$，进而 $a=1$，而

$$|AP|+|AF_2|=|AP|+|AF_1|-2\geqslant |PF_1|-2=2\sqrt 6-2,$$ 等号当 $P,A,F_1$ 依次共线时取得，因此所求最小值为 $2\sqrt 6-2$．