若不等式 $\mathrm{e}^{x}-a \ln (a x-1)+1 \geqslant 0$ 对任意 $x\in\left[\dfrac{1}{2}, 1\right]$ 恒成立（$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数），则实数 $a$ 的最大值为（ ）
A．$\mathrm{e}+1$
B．${\rm e}$
C．${\rm e}^{2}+1$
D．$\mathrm{e}^{2}$
答案 A
解析 记不等式左侧函数为 $f(x)$．令 $x=1$，可得\[{\rm e}-a\ln(a-1)+1\geqslant 0\implies a\ln(a-1)\leqslant {\rm e}+1,\]于是 $a\leqslant {\rm e}+1$． 当 $a={\rm e}+1$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)={\rm e}^x-({\rm e}+1)\cdot \dfrac{{\rm e}+1}{({\rm e}+1)x-1},\]该函数在 $\left[\dfrac 12,1\right]$ 上单调递增，而\[f'(1)={\rm e}-\dfrac{({\rm e}+1)^2}{{\rm e}}<0,\]于是 $f(x)$ 在 $\left[\dfrac 12,1\right]$ 上单调递减，因此 $a$ 可以取得 ${\rm e}+1$． 综上所述，实数 $a$ 的最大值为 ${\rm e}+1$．