每日一题[2654]天穹

某半球形容器如图 $(1)$ 所示,底面圆的半径为 $ 2$.往其中放入四个大小相同的小球,每个小球都与半球面相切,也与底面相切,其俯视图如图 $(2)$ 所示.小球的半径等于_______;若球 $M$ 与这四个小球、半球面都相切,则球 $M$ 的半径等于_______.

答案    $\sqrt 3-1$;$4-2\sqrt 3$.

解析    设四个大小相同的球的球心分别为 $O_1,O_2,O_3,O_4$,半径为 $r$,半球形容器的球心为 $O$,半径为 $R=2$.如图,作截面 $OO_1O_3$,则有 $|O_1O_2|=2\sqrt 2r$,进而\[|OO_1|=R-r\implies \left(\dfrac 12|O_1O_2|\right)^2+r^2=(R-r)^2\implies r=\dfrac{R}{\sqrt 3+1},\]于是 $r=\sqrt 3-1$.

进而,设球 $M$ 的半径为 $m$,则有\[|O_1M|=r+m\implies (R-r-m)^2+\left(\sqrt 2r\right)^2=(R+r)^2\implies m=4-2\sqrt 3.\]

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