每日一题[148]以直代曲

2015年高考数学天津卷理科第20题（压轴题）：

已知函数$f(x)=nx-x^n$，$x\in\mathcal R$，其中$n\in\mathcal N^*$，且$n\geqslant 2$．

（1）讨论$f(x)$的单调性；

（2）设曲线$y=f(x)$与$x$轴正半轴的交点为$P$，曲线在点$P$处的切线方程为$y=g(x)$，求证：对于任意的正实数$x$，都有$f(x)\leqslant g(x)$；

（3）若关于$x$的方程$f(x)=a$（$a$为实数）有两个正实数根$x_1$、$x_2$，求证：$\left|x_1-x_2\right|<\dfrac{a}{1-n}+2$．

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（1）解    根据题意，有

$$f'(x)=n-nx^{n-1},$$ 于是当$n$为奇数时，函数$f(x)$在$(-\infty,-1)$上单调递减，在$(-1,1)$上单调递增，在$(1,+\infty)$上单调递减；当$n$为偶数时，函数$f(x)$在$(-\infty,1)$上单调递增，在$(1,+\infty)$上单调递减，如图．

（2）证明    根据题意，$P$的坐标为$P\left(n^{\frac 1{n-1}},0\right)$，于是曲线在点$P$处的切线方程为

$$g(x)=\left(n-n^2\right)\left(x-n^{\frac{1}{n-1}}\right),$$ 进而 $$g(x)-f(x)=x^n-n^2x+(n^2-n)\cdot n^{\frac{1}{n-1}},$$ 其导函数为 $$\left(g(x)-f(x)\right)'=nx^{n-1}-n^2,$$ 于是函数$g(x)-f(x)$在$x=n^{\frac{1}{n-1}}$处取得极小值，同时也为最小值$0$．因此原命题得证，如图．

（3）证明    显然符合题意的$a>0$．不妨设$0<x_1<x_2<n^{\frac{1}{n-1}}$，以下所有函数的定义域均默认为$\left[0,n^{\frac 1{n-1}}\right]$．

考虑函数$f(x)$在$x=0$处的切线

$$h(x)=nx,$$ 由于 $$h(x)-f(x)=x^n\geqslant 0,$$ 于是可得 $$f(x)\leqslant h(x),$$ 如图．

因此我们可以利用这两条曲线对$x_1,x_2$进行线性估计（以直代曲）．设

$$f\left(x_1\right)=h\left(x_3\right)=g\left(x_4\right)=f\left(x_2\right)=a,$$ 则有 $$x_3<x_1<x_2<x_4,$$ 于是有 $$\begin{split}\left|x_1-x_2\right|&<x_4-x_3\\&=\left(\dfrac{a}{n-n^2}+n^{\frac{1}{n-1}}\right)-\dfrac{a}{n}\\&=\dfrac{a}{1-n}+n^{\frac{1}{n-1}},\end{split}$$ 接下来只需要证明 $$n^{\frac{1}{n-1}}\leqslant 2,$$ 即 $$n\leqslant 2^{n-1}.$$ 事实上，根据二项式定理，有 $$2^{n-1}=(1+1)^{n-1}\geqslant 1+{\rm C}_{n-1}^1=n,$$ 等号当且仅当$n=2$时取得．因此原命题得证．

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注    利用函数在某一点处的切线得到函数的线性上界（或下界）是处理和函数相关的不等式的重要方法．事实上，常用的不等式有很多都是这样得来的，如

$$\sin x\leqslant x,{\rm e}^x\geqslant x+1,\ln(x+1)\leqslant x,\cdots$$ 以上各式中$x$均在区间$[0,+\infty)$．