每日一题[2588]另类单调

已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{2} x^2-(a+1) x+a \ln x$（$a \in \mathbb R$）．

1、若 $x=1$ 是函数 $f(x)$ 的极小值点，求实数 $a$ 的取值范围．

2、若函数 $f(x)$ 在定义域内单调递增，对于任意的 $x_1, x_2 \in[1,4]$，且 $x_1>x_2$，不等式 $\dfrac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1^2-x_2^2}>m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{(x-1)(x-a)}{x},$$ 其二阶导函数 $$f''(x)=1-\dfrac a{x^2},$$ 若 $x=1$ 是函数 $f(x)$ 的极小值点，则 $$\begin{cases} f'(1)=0,\\ f''(1)>0,\end{cases}\iff 1-a>0,$$ 因此实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,1)$．

2、根据题意，有 $$\forall (1\leqslant x_2<x_1\leqslant 4),~f(x_1)-mx_1^2>f(x_2)-mx_2^2,$$ 也即函数 $g(x)=f(x)-mx^2$ 在 $x\in [1,4]$ 上单调递增，也即 $$\forall x\in [1,4],~g'(x)\geqslant 0,$$ 即 $$\forall x\in [1,4],~x-2+\dfrac 1x-2mx\geqslant 0,$$ 也即 $$\forall x\in [1,4],~m\leqslant \dfrac 12-\dfrac 1x+\dfrac{1}{2x^2},$$ 也即 $$\forall x\in [1,4],~m\leqslant \dfrac 12\left(1-\dfrac 1x\right)^2,$$ 因此实数 $m$ 的取值范围是 $(-\infty,0]$．