已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{2} x^2-(a+1) x+a \ln x $（$a \in \mathbb R$）．
1、若 $x=1$ 是函数 $f(x)$ 的极小值点，求实数 $a$ 的取值范围．
2、若函数 $f(x)$ 在定义域内单调递增，对于任意的 $x_1, x_2 \in[1,4]$，且 $x_1>x_2$，不等式 $\dfrac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1^2-x_2^2}>m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．
解析
1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{(x-1)(x-a)}{x},\]其二阶导函数\[f''(x)=1-\dfrac a{x^2},\]若 $x=1$ 是函数 $f(x)$ 的极小值点，则\[\begin{cases} f'(1)=0,\\ f''(1)>0,\end{cases}\iff 1-a>0,\]因此实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,1)$．
2、根据题意，有\[\forall (1\leqslant x_2<x_1\leqslant 4),~f(x_1)-mx_1^2>f(x_2)-mx_2^2,\]也即函数 $g(x)=f(x)-mx^2$ 在 $x\in [1,4]$ 上单调递增，也即\[\forall x\in [1,4],~g'(x)\geqslant 0,\]即\[\forall x\in [1,4],~x-2+\dfrac 1x-2mx\geqslant 0,\]也即\[\forall x\in [1,4],~m\leqslant \dfrac 12-\dfrac 1x+\dfrac{1}{2x^2},\]也即\[\forall x\in [1,4],~m\leqslant \dfrac 12\left(1-\dfrac 1x\right)^2,\]因此实数 $m$ 的取值范围是 $(-\infty,0]$．