每日一题[2480]极差期望

一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数 $1,2,3,4,5,6$．随机地投掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为 $a_{1},a_{2},a_{3}$，则事件

$$\left|a_{1}-a_{2}\right|+\left|a_{2}-a_{3}\right|+\left|a_{3}-a_{1}\right|=6$$ 发生的概率为_______．

答案    $\dfrac 14$．

解析    根据题意，有

$$\left|a_{1}-a_{2}\right|+\left|a_{2}-a_{3}\right|+\left|a_{3}-a_{1}\right|=6\iff \max\{a_1,a_2,a_3\}-\min\{a_1,a_2,a_3\}=3.$$

情形一     $a_1,a_2,a_3$ 各不相同，此时对应 $3\cdot 2\cdot 3!=36$ 种排列．

情形二     $a_1,a_2,a_3$ 中有两个数相同．此时对应 $3\cdot 2\cdot 3=18$ 种排列．

因此所求概率为

$$\dfrac{36+18}{6^3}=\dfrac 14.$$

备注    事件 $\left|a_{1}-a_{2}\right|+\left|a_{2}-a_{3}\right|+\left|a_{3}-a_{1}\right|=2k$ 的概率

$$p(k)=\begin{cases} \dfrac{1}{36},&k=0,\\ \dfrac{k(6-k)}{36},&k=1,2,3,4,5.\end{cases}$$ 进而 $\left|a_{1}-a_{2}\right|+\left|a_{2}-a_{3}\right|+\left|a_{3}-a_{1}\right|$ 的数学期望是 $\dfrac{35}6$，也就是说最大数与最小数之差的数学期望是 $\dfrac{35}{12}$．