证明：对任一自然数 $n \geqslant 4$，下列命题成立：每个有外接圆的四边形，恒可分成 $n$ 个都有外接圆的四边形．
解析 设四边形 $ABCD$ 有外接圆，如图．
当 $n=4$ 时．我们分别在线段 $DC$ 内取一点 $A^{\prime}$，线段 $AD$ 内取一点 $C^{\prime}$，作四边形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$，使点 $B^{\prime}$ 在 $\triangle ACD$ 的内部，并且使
\[\angle D A^{\prime} B^{\prime}=\angle D A B, \quad \angle D C^{\prime} B^{\prime}=\angle D C B,\]于是，四边形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 与四边形 $ABCD$ 的内角分别对应相等，由于点 $B^{\prime}$ 可以取得与点 $D$ 充分接近，因此，总可以使过点 $B^{\prime}$ 作 $DC$ 边的平行线交 $BC$ 于 $E$，过点 $B^{\prime}$ 作 $DA$ 边的平行线交 $AB$ 边与 $F$，于是四边形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}, B^{\prime} E C A^{\prime}, F B E B^{\prime}$ 和 $A F B^{\prime} C^{\prime}$ 就是所求的四个四边形．因为，由四边形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 和 $F B E B^{\prime}$ 的内角分别与四边形 $ABDC$ 的内角对应相等可知，这两个四边形有外接圆．又由
\[\angle C A^{\prime} B^{\prime}=180^{\circ}-\angle D A^{\prime} B^{\prime}=180^{\circ}-\angle D A B=\angle B C D,\]和\[\angle A C^{\prime} B^{\prime}=180^{\circ}-\angle D C^{\prime} B^{\prime}=180^{\circ}-\angle B C D=\angle D A D\]可知，梯形 $B^{\prime} E^{\prime} C A^{\prime}$ 和梯形 $A F B^{\prime} C^{\prime}$ 都是等腰梯形，因而这两个四边形也有外接圆．
当 $n \geqslant 5$ 时，应用上述的结果，可以得出一般性的简单解法：将两个等腰梯形中的一个，用平行于底边的平行线分成 $n-3$ 个小的等腰梯形，每个小梯形都有外接圆，于是就将原来的四边形便分成了 $n$ 个四边形，并且每个四边形都有外接圆．
乱码了