\displaystyle\sum_{k=1}^8(-1)^k\dbinom 8kk^8 的值为_______．
答案 40320．
解法一 设 f(n,r)=\displaystyle\sum_{k=1}^n(-1)^k\dbinom nkk^r，则所求代数式为 I(8,8)，有\begin{split} f(n,r)&=\sum_{k=1}^n(-1)^k\dbinom nkk^r\\ &=\sum_{k=1}^n(-1)^k\left(\dfrac nk\dbinom{n-1}{k-1}\right)\cdot k^r\\ &=n\sum_{k=1}^n(-1)^{k}\dbinom{n-1}{k-1}k^{r-1}\\ &=n\sum_{k=1}^n(-1)^k\left(\dbinom nk-\dbinom{n-1}k\right)k^{r-1}\\ &=n\left(f(n,r-1)-f(n-1,r-1)\right) ,\end{split}而 I(1,1)=-1，当 n\geqslant 2 时，有I(n,1)=\sum_{k=1}^n(-1)^k\dbinom nkk=n\sum_{k=1}^n(-1)^k\dbinom{n-1}{k-1}=n(1-1)^{n-1}=0,因此可得I(n,r)=\begin{cases} 0,&r<n,\\ (-1)^n\cdot n!,&r=n.\end{cases}进而 I(8,8)=8!=\boxed{40320}．\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}\hline n&&&&&&(-1)^n\cdot n!\\ \hline \cdots&&&&&\cdots&0\\ \hline 4&&&&4!&\cdots&0\\ \hline 3&&&-3!&0&\cdots&0\\ \hline 2&&2!&0&0&\cdots&0\\ \hline 1&-1&0&0&0&\cdots&0\\ \hline r/n&1&2&3&4&\cdots&n \\ \hline \end{array}
解法二 原式可以看作是一个由数字 1,2,3,4,5,6,7,8 组成的 8 位数按容斥原理计算的结果，因此其值为 8!= \boxed{40320}．