设 $a_1,a_2,\cdots,a_{2021}$ 为两两不同的实数，求证：\[\sum_{i=1}^{2021}\prod_{\substack{j=1,\\ j\ne i}}^{2021}\dfrac{a_i+a_j}{a_i-a_j}=1.\]
解析 设\[f(x)=\sum_{i=1}^{2021}\left(\prod_{\substack{j=1,\\ j\ne i}}^{2021}\dfrac{a_i+a_j}{a_i-a_j}\cdot \prod_{\substack{j=1,\\ j\ne i}}^{2021}(x-a_j)\right),\]则问题转化为证明多项式函数 $f(x)$ 的 $x^{n-1}$ 次项系数 $r=1$，其中 $f(x)$ 满足\[f(a_i)=\prod_{\substack{j=1,\\ j\ne i}}^{2021}(a_i+a_j),\quad i=1,2,\cdots,2021.\]于是 $x=a_i$（$i=1,2,\cdots,2021$）是关于 $x$ 的方程 $n$ 次方程\[2xf(x)-\prod_{j=1}^{2021}(x+a_j)=0\]的所有实根，从而\[2xf(x)-\prod_{j=1}^{2021}(x+a_j)=(2r-1)\prod_{j=1}^{2021}(x-a_j),\]考虑常数项，可得 $r=1$，命题得证．