计算 1008∑k=1cos2016kπ1008．
答案 6322012((20161008)+2)．
解析 设 ω=(π1008:1) 为 2016 次单位根，则 ω2016=1，且由单位根的性质知∀l∈N,2016∑k=1(ωk)l={2016,2016∣l,0,2016∤因此，有 \begin{split}\sum\limits_{k=1}^{1008}\cos^{2016}\dfrac{k\pi}{1008}&=\sum\limits_{k=1}^{1008}\dfrac 1 2\left(\cos^{2016}\left(\dfrac{k\pi}{1008}\right)+\cos^{2016}\left(\dfrac{k\pi}{1008}+\pi\right)\right)\\ &=\dfrac 1 2\sum\limits_{k=1}^{2016}\cos ^{2016}\dfrac{k\pi}{1008}\\ &=\dfrac 1 2\sum\limits_{k=1}^{2016}\left(\dfrac 1 2\left(\omega^k+\dfrac{1}{\omega^k}\right)\right)^{2016}\\ &=\dfrac{1}{2^{2017}}\sum\limits_{k=1}^{2016}(\omega^{2k}+1)^{2016}\\ &=\dfrac{1}{2^{2017}}\sum\limits_{k=1}^{2016}\sum\limits_{l=0}^{2016}\dbinom{2016}l\omega^{2kl}\\ &=\dfrac{1}{2^{2017}}\sum\limits_{l=0}^{2016}\dbinom{2016}l\sum\limits_{k=1}^{2016}\omega^{2kl}\\ &=\dfrac{1}{2^{2017}}\left(\dbinom{2016}0\cdot 2016+\dbinom{2016}{1008}\cdot 2016+\dbinom{2016}{2016} \cdot 2016\right)\\ &=\dfrac{63}{2^{2012}}\left(\dbinom{2016}{1008}+2\right).\end{split}