每日一题[2253]平衡位置

已知在 $\triangle ABC$ 中，$\dfrac{\cos A}{\sin B}+2\dfrac{\cos B}{\sin A}-3\dfrac{\cos C}{\sin A\sin B}=3$，则 $\sin C=$ _______．

答案    $1$．

解析    根据题意，有

$$\dfrac{\cos A}{\sin B}+2\dfrac{\cos B}{\sin A}+3\dfrac{\cos A\cos B-\sin A\sin B}{\sin A\sin B}=3,$$ 也即 $$\dfrac{\cos A}{\sin B}+2\dfrac{\cos B}{\sin A}+3\cdot \dfrac{\cos A}{\sin B}\cdot \dfrac{\cos B}{\sin A}=6.$$ 若 $A\geqslant \dfrac{\pi}2$，设 $A=\dfrac{\pi}2+x$，其中 $x\in \left[0,\dfrac{\pi}2\right)$，则 $x+B<\dfrac{\pi}2$，$x,B$ 均为锐角，此时 $$\left(2-3\dfrac{\sin x}{\sin B}\right)\dfrac{\cos B}{\cos x}=3+\dfrac{\sin x}{\sin B},$$ 从而 $\dfrac{\sin x}{\sin B}\in \left(0,\dfrac 23\right)$，进而 $$\dfrac{\cos B}{\cos x}>3\implies \cos B>\cos x\implies B<x\implies \sin B<\sin x\implies \dfrac {\sin x}{\sin B}>1,$$ 矛盾，因此 $A$ 为锐角． 类似可推出 $B$ 为锐角． 此时若 $\cos A>\sin B$，则 $$1-\cos^2A<1-\sin^2B\implies \sin^2A<\cos^2B\implies \sin A<\cos B,$$ 从而 $$\dfrac{\cos A}{\sin B}+2\dfrac{\cos B}{\sin A}+3\cdot \dfrac{\cos A}{\sin B}\cdot \dfrac{\cos B}{\sin A}>6,$$ 矛盾，类似可得 $\cos A<\sin B$ 时也矛盾，因此 $\cos A=\sin B$，$A,B$ 互余，从而 $C$ 为直角，$\sin C=1$．