每日一题[2246]镜

有两道成直角的墙，在这个角落围上篱笆，使篱笆的两条边与两道墙构成四边形，篱笆长度是 $60$ 米，请问四边形的面积最大是多少？

答案    $450\left(\sqrt 2+1\right)$．

解析    如图，设墙 $OA,OB$ 互相垂直，围成四边形 $OPRQ$，其中 $P,Q$ 分别为 $OA,OB$ 上．作 $R$ 关于 $OA,O,OB$ 的对称点 $R_1,R_2,R_3$，$P,Q$ 关于 $O$ 的对称点 $P_1,Q_1$，连接 $PR_1,R_1Q_1,Q_1R_2,R_2P_1,P_1R_3,R_3Q$．

问题转化为周长为 $240$ 的多边形 $PR_1Q_1R_2P_1R_3QR$ 的最大面积的 $\dfrac14$．根据等周定理，等多边形为边长 $a=30$ 的正八边形时面积最大，因此所求为

$$\left(2\sqrt 2+2\right)a^2\cdot \dfrac 14=450\left(\sqrt 2+1\right).$$

备注    $450\left(\sqrt 2+1\right)\approx 1086.4$，按正方形计算为 $900$（这是一个典型的错误答案）．