每日一题[2087]组合计数

设三角形的边长为不相等的整数，且最大边长为 $n$，这些三角形的个数为 $a_n$．

1、求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．

2、在 $1,2, \cdots, 100$ 中任取三个不同的整数，求它们可以是一个三角形的三条边长的概率．

解析

1、设中间边长为 $k$，则 $k$ 的取值为 $\left(\dfrac n2,n\right)$ 内的所有正整数，而当中间边长确定为 $k$ 时，对应的最小边长为 $\left(n-k,k\right)$ 内的所有正整数，因此 $$\begin{split} a_n&=\sum_{\frac n2<k<n,k\in\mathbb Z}(2k-n-1)\\ &=\begin{cases} 2+4+\cdots+(n-3),&n\text{ 是奇数},\\ 1+3+\cdots+(n-3),&n\text{ 是偶数},\end{cases}\\ &=\begin{cases} \dfrac{ (n-1)(n-3)}4,&n\text{ 是奇数},\\ \dfrac{(n-2)^2}4,&n\text{ 是偶数},\end{cases}\\ &=\begin{cases} \dfrac 14n^2-n+\dfrac 34,& n\text{ 是奇数},\\ \dfrac 14n^2-n+1,& n\text{是偶数}.\end{cases}\end{split}$$

2、根据第 $(1)$ 小题的结果，所求概率为 $$\begin{split} \dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^{100}a_k}{\dbinom {100}3}&=\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^{100}\dfrac{(k-2)^2}{4}-\dfrac14\cdot 50}{\dbinom {100}3}\\ &=\dfrac{\dfrac14\displaystyle\sum_{k=1}^{98}k^2-\dfrac 14\cdot 49}{\dbinom {100}3}\\ &=\dfrac{98\cdot 99\cdot 197-49}{4\cdot \dfrac{100\cdot 99\cdot 98}6}\\ &=\dfrac{65}{132}.\end{split}$$