每日一题[2017]分离变量

已知函数 $f(x)=x^3-kx+k^2$．

1、讨论 $f(x)$ 的单调性．

2、若 $f(x)$ 有三个零点，求 $k$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=3x^2-k,$$ 于是当 $k\leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增；当 $k>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,-\sqrt {\dfrac k3}\right)$ 上单调递增，在 $\left(-\sqrt {\dfrac k3},\sqrt {\dfrac k3}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\sqrt {\dfrac k3},+\infty\right)$ 上单调递增．

2、根据第 $(1)$ 小题的结论，$k>0$，且此时

$$f\left(-\sqrt {\dfrac k3}\right)\cdot f\left(\sqrt {\dfrac k3}\right)<0\iff \left(\dfrac{2k^{\frac 32}}{3\sqrt 3}+k^2\right)\cdot\left(-\dfrac{2k^{\frac 32}}{3\sqrt 3}+k^2\right)<0,$$ 也即 $$k^4-\dfrac{4k^3}{27}<0,$$ 解得 $k$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{4}{27}\right)$．