已知函数 $f(x)=x^3-kx+k^2$．
1、讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、若 $f(x)$ 有三个零点，求 $k$ 的取值范围．
解析
1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=3x^2-k,\]于是当 $k\leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增；当 $k>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,-\sqrt {\dfrac k3}\right)$ 上单调递增，在 $\left(-\sqrt {\dfrac k3},\sqrt {\dfrac k3}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\sqrt {\dfrac k3},+\infty\right)$ 上单调递增．
2、根据第 $(1)$ 小题的结论，$k>0$，且此时\[f\left(-\sqrt {\dfrac k3}\right)\cdot f\left(\sqrt {\dfrac k3}\right)<0\iff \left(\dfrac{2k^{\frac 32}}{3\sqrt 3}+k^2\right)\cdot\left(-\dfrac{2k^{\frac 32}}{3\sqrt 3}+k^2\right)<0,\]也即\[k^4-\dfrac{4k^3}{27}<0,\]解得 $k$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{4}{27}\right)$．