每日一题[1997]降次

若方程 $x^2+2px-3p-2=0$ 的两个不相等的实数根 $x_1,x_2$ 满足 $x_1^2+x_1^3=4-(x_2^2+x_2^3)$，则实数 $p$ 的所有可能的值之和为（       ）

A．$0$

B．$-\dfrac 3 4$

C．$-1$

D．$-\dfrac 5 4$

答案    B．

解析    根据题意，有

$$x^2=-2px+3p+2,$$ 因此 $$x^2+x^3=(-2p+1)x^2+(3p+2)x=(-2p+1)(-2px+3p+2)+(3p+2)x,$$ 整理可得 $$x^2+x^3=(4p^2+p+2)x-6p^2-p+2,$$ 根据题意，有 $$(x_1^2+x_1^3)+(x_2^2+x_2^3)=4\implies (4p^2+p+2)(x_1+x_2)-12p^2-2p+4=4,$$ 根据韦达定理，$x_1+x_2=-2p$，于是 $$8p^3+14p^2+6p=0\iff p(4p+3)(p+1)=0,$$ 经验证 $p=-1$ 不符合题意，因此所求可能值之和为 $-\dfrac 34$．