每日一题[1939]不常见裂项

已知正项数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且满足 $a_1=1$，$2S_n=a_n^2-2S_{n-1}+1$（$n\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^{\ast}$）．

1、求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．

2、若数列 $\{b_n\}$ 满足条件 $b_n=\sqrt{1+\dfrac{1}{(a_n+1)^2}+\dfrac{1}{(a_{n+1}+1)^2}}$，数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，且 $M\leqslant \dfrac 2nT_n$，求整数 $M$ 的最大值．

解析

1、根据题意，当 $n\geqslant 2$ 时，有 $$2a_{n+1}=a_{n+1}^2-a_n^2-2a_n\iff (a_{n+1}-a_n-2)(a_{n+1}+a_n)=0\iff a_{n+1}-a_n=2,$$ 又 $$2S_2=a_2^2-2S_1+1\implies a_2=3,$$ 因此 $a_n=2n-1$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．

2、根据题意，有 $$b_n=\sqrt{1+\dfrac{1}{4n^2}+\dfrac{1}{4(n+1)^2}},$$ 于是 $$1<b_n<1+\dfrac{1}{2n}-\dfrac{1}{2(n+1)},$$ 于是 $$2<\dfrac 2nT_n<\dfrac 2n\cdot \left(n+\dfrac 12-\dfrac{1}{2(n+1)}\right)=2+\dfrac{1}{n+1},$$ 从而整数 $M$ 的最大值为 $2$．