每日一题[1842]公切线

已知直线 $l$ 与曲线 $f(x)={\rm e}^x$ 和 $g(x)=\ln x$ 分别相切于 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$x_1>x_2$，$O$ 为坐标原点．下列命题中正确的有（       ）

A．$\angle AOB$ 是钝角

B．$x_1+y_2=0$

C．$x_1\in (1,2)$

D．以上答案都不对

答案    ABC．

解析    曲线 $f(x)={\rm e}^{x}$ 在 $x=x_1$ 处的切线方程为

$$y={\rm e}^{x_1}(x-x_1)+{\rm e}^{x_1},$$ 曲线 $g(x)=\ln x$ 在 $x=x_2$ 处的切线方程为 $$y=\dfrac1{x_2}(x-x_2)+\ln x_2,$$ 于是 $$\begin{cases} {\rm e}^{x_1}=\dfrac{1}{x_2},\\ {\rm e}^{x_1}(1-x_1)=\ln x_2-1,\end{cases}\iff \begin{cases} x_1=-\ln x_2,\\ \dfrac{1-x_1}{x_2}=-x_1-1,\end{cases}\iff\begin{cases} x_1=-\ln x_2,\\ (1+x_1)(1-x_2)=2,\end{cases}$$ 因此有 $0<x_2<1<x_1$．

选项 A    考虑直线 $OA$ 和 $OB$ 的斜率之积，为

$$\dfrac{{\rm e}^{x_1}}{x_1}\cdot \dfrac{\ln x_2}{x_2}=-\dfrac{1}{x_2^2}<-1,$$ 因此 $\angle AOB$ 是锐角．

选项 B     $x_1+y_2=x_1+\ln x_2=0$．

选项 C    有 $(1+x_1)\left(1-\dfrac{1}{{\rm e}^{x_1}}\right)=2$，左侧关于 $x_1$ 单调递增，考虑到

$$(1+2)\left(1-\dfrac1{{\rm e}^2}\right)-2=1-\dfrac{3}{{\rm e}^2}>0,$$ 于是 $1<x_1<2$，命题正确．

备注    事实上，$x_1\approx 0.21$，$x_2\approx 1.54$．$\tt 2019$ 年全国 $\tt II$ 卷理的导数题第 $(2)$ 小题就是证明 $\ln x_2-\dfrac{x_2+1}{x_2-1}=0$．