每日一题[1842]公切线

已知直线 $l$ 与曲线 $f(x)={\rm e}^x$ 和 $g(x)=\ln x$ 分别相切于 $A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,$x_1>x_2$,$O$ 为坐标原点.下列命题中正确的有(       )

A.$\angle AOB$ 是钝角

B.$x_1+y_2=0$

C.$x_1\in (1,2)$

D.以上答案都不对

答案    ABC.

解析    曲线 $f(x)={\rm e}^{x}$ 在 $x=x_1$ 处的切线方程为\[y={\rm e}^{x_1}(x-x_1)+{\rm e}^{x_1},\]曲线 $g(x)=\ln x$ 在 $ x=x_2$ 处的切线方程为\[y=\dfrac1{x_2}(x-x_2)+\ln x_2,\]于是\[\begin{cases} {\rm e}^{x_1}=\dfrac{1}{x_2},\\ {\rm e}^{x_1}(1-x_1)=\ln x_2-1,\end{cases}\iff \begin{cases} x_1=-\ln x_2,\\ \dfrac{1-x_1}{x_2}=-x_1-1,\end{cases}\iff\begin{cases} x_1=-\ln x_2,\\ (1+x_1)(1-x_2)=2,\end{cases}\]因此有 $0<x_2<1<x_1$.

选项 A    考虑直线 $OA$ 和 $OB$ 的斜率之积,为\[\dfrac{{\rm e}^{x_1}}{x_1}\cdot \dfrac{\ln x_2}{x_2}=-\dfrac{1}{x_2^2}<-1,\]因此 $\angle AOB$ 是锐角.

选项 B     $x_1+y_2=x_1+\ln x_2=0$.

选项 C    有 $(1+x_1)\left(1-\dfrac{1}{{\rm e}^{x_1}}\right)=2$,左侧关于 $x_1$ 单调递增,考虑到\[(1+2)\left(1-\dfrac1{{\rm e}^2}\right)-2=1-\dfrac{3}{{\rm e}^2}>0,\]于是 $1<x_1<2$,命题正确.

备注    事实上,$x_1\approx 0.21$,$x_2\approx 1.54$.$\tt 2019$ 年全国 $\tt II$ 卷理的导数题第 $(2)$ 小题就是证明 $\ln x_2-\dfrac{x_2+1}{x_2-1}=0$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论