每日一题[1780]极坐标

曲线 $C$ 的极坐标方程是 $\rho=1+\cos\theta$，点 $A$ 的极坐标是 $(0:2)$，曲线 $C$ 在它所在的平面内绕 $A$ 旋转一周，则它扫过的图形的面积是_______．

答案    $\dfrac{16}3\pi$．

解析    如图，设 $P$ 为曲线 $C$ 上一点，$AP$ 的最大值设为 $m$，则 $\pi m^2$ 为所求．

设 $P(\theta:1+\cos\theta)$，则根据余弦定理，有

$$AP=\sqrt{4+(1+\cos\theta)^2-2\cdot 2\cdot (1+\cos\theta)\cdot \cos\theta}=\sqrt{3(1-\cos\theta)\left(\dfrac 53+\cos\theta\right)}\leqslant \sqrt{3\cdot \left(\dfrac 43\right)^2},$$ 因此 $\pi m^2=\dfrac{16\pi}3$．