每日一题[1781]勾股数

在直角坐标平面上,以 $(199,0)$ 为圆心,以 $199$ 为半径的圆周上,整点(即横、纵坐标均为整数)的点的个数为_______.

答案    $4$.

解析    平移不改变是否为整点的性质,因此只需要考虑 $x^2+y^2=199^2$ 的整数解 $(x,y)$ 的个数.由于 $199\equiv 3\pmod 4$,于是 $199$ 无法写成两个平方数之和,因此该不定方程没有正整数解,进而所有整数解为 $(\pm 199,0)$ 和 $(0,\pm 199)$.

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