每日一题[1781]勾股数

在直角坐标平面上，以 $(199,0)$ 为圆心，以 $199$ 为半径的圆周上，整点（即横、纵坐标均为整数）的点的个数为_______．

答案    $4$．

解析    平移不改变是否为整点的性质，因此只需要考虑 $x^2+y^2=199^2$ 的整数解 $(x,y)$ 的个数．由于 $199\equiv 3\pmod 4$，于是 $199$ 无法写成两个平方数之和，因此该不定方程没有正整数解，进而所有整数解为 $(\pm 199,0)$ 和 $(0,\pm 199)$．