每日一题[1780]极坐标

曲线 $C$ 的极坐标方程是 $\rho=1+\cos\theta$,点 $A$ 的极坐标是 $(0:2)$,曲线 $C$ 在它所在的平面内绕 $A$ 旋转一周,则它扫过的图形的面积是_______.

答案    $\dfrac{16}3\pi$.

解析    如图,设 $P$ 为曲线 $C$ 上一点,$AP$ 的最大值设为 $m$,则 $\pi m^2$ 为所求.

设 $P(\theta:1+\cos\theta)$,则根据余弦定理,有\[AP=\sqrt{4+(1+\cos\theta)^2-2\cdot 2\cdot (1+\cos\theta)\cdot \cos\theta}=\sqrt{3(1-\cos\theta)\left(\dfrac 53+\cos\theta\right)}\leqslant \sqrt{3\cdot \left(\dfrac 43\right)^2},\]因此 $\pi m^2=\dfrac{16\pi}3$.

 

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