每日一题[1738]分而治之

设实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=1$，$abc>0$．求证：

$$ab+bc+ca<\dfrac {\sqrt {abc}}{2}+\dfrac 14.$$

解析    不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$，则 $a\geqslant \dfrac 13$．只需要考虑 $ab+bc+ca>\dfrac 14$ 的情形，尝试证明

$$\left(ab+bc+ca-\dfrac14\right)^2<\dfrac{abc}4,$$ 一方面，有 $$ab+bc+ca-\dfrac14\leqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{3}-\dfrac 14=\dfrac1{12}\leqslant \dfrac a4,$$ 取等条件为 $a=\dfrac 13$．另一方面，有 $$ab+bc+ca-\dfrac 14=a(b+c)+bc-\dfrac 14=a(1-a)+bc-\dfrac14\leqslant bc,$$ 取等条件为 $a=\dfrac 13$，因此原不等式得证．