设实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=1$，$abc>0$．求证：\[ab+bc+ca<\dfrac {\sqrt {abc}}{2}+\dfrac 14.\]
解析 不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$，则 $a\geqslant \dfrac 13$．只需要考虑 $ab+bc+ca>\dfrac 14$ 的情形，尝试证明\[\left(ab+bc+ca-\dfrac14\right)^2<\dfrac{abc}4,\]一方面，有\[ab+bc+ca-\dfrac14\leqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{3}-\dfrac 14=\dfrac1{12}\leqslant \dfrac a4,\]取等条件为 $a=\dfrac 13$．另一方面，有\[ab+bc+ca-\dfrac 14=a(b+c)+bc-\dfrac 14=a(1-a)+bc-\dfrac14\leqslant bc,\]取等条件为 $a=\dfrac 13$，因此原不等式得证．