设 $f:\{1,2,\cdots,2019\}\to \{-1,1\}$，求证：$\displaystyle \sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant 2019}f(i)f(j)\ne 0$．
解析 由于 $\mathop{\rm C}\nolimits_{2019}^2=2019\cdot 1009$ 为奇数，因此 $\displaystyle \sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant 2019}f(i)f(j)$ 是奇数个奇数（$1$ 或 $-1$）的和，必然为奇数，不可能为 $0$，命题得证．