每日一题[1586]纸老虎

已知函数 $f(x)=(2-x){\rm e}^{k(x-1)}-x$，其中 $k$ 为实数，${\rm e}$ 为自然对数的底数．

1、若函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减，求 $k$ 的最大值．

2、当 $x\in (1,2)$ 时，证明：$\ln\dfrac{x(2x-1)}{2-x}>2\left(x-\dfrac 1x\right)$．

答案    1、$2$；2、略．

解析    

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)={\rm e}^{k(x-1)}(-kx+2k-1)-1,$$ 其二阶导函数 $$f''(x)=k{\rm e}^{k(x-1)}(-kx+2k-2).$$ 优先考虑 $k>0$ 的情形，此时 $f''(x)$ 在 $x=\dfrac{2k-2}k$ 处取得极大值，亦为最大值．因此函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减，即 $$\forall x\in\mathbb R,f'(x)\leqslant 0\iff f'\left(\dfrac{2k-2}k\right)\leqslant 0\iff {\rm e}^{k-2}-1\leqslant 0\iff k\leqslant 2,$$ 因此 $k$ 的最大值为 $2$．

2、设函数 $g(x)=\ln\dfrac{x(2x-1)}{2-x}-2\left(x-\dfrac 1x\right)$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac 1x+\dfrac{2}{2x-1}+\dfrac{1}{2-x}-2-\dfrac{2}{x^2},$$ 而 $$\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2-x}-2\geqslant 0,\\ \dfrac{2}{2x-1}-\dfrac 2{x^2}\geqslant 0,\end{cases}\implies g'(x)\geqslant 0,$$ 等号当 $x=1$ 时取得，因此函数 $g(x)$ 在 $(1,2)$ 上单调递增，有 $g(x)>g(1)=0$，命题得证．

备注    注意将 $g(x)$ 写成 $$g(x)=\ln x+\ln (2x-1)-\ln (2-x)-2x+\dfrac 2x.$$