每日一题[1586]纸老虎

已知函数 $f(x)=(2-x){\rm e}^{k(x-1)}-x$,其中 $k$ 为实数,${\rm e}$ 为自然对数的底数.

1、若函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减,求 $k$ 的最大值.

2、当 $x\in (1,2)$ 时,证明:$\ln\dfrac{x(2x-1)}{2-x}>2\left(x-\dfrac 1x\right)$.

答案    1、$2$;2、略.

解析    

1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)={\rm e}^{k(x-1)}(-kx+2k-1)-1,\]其二阶导函数\[f''(x)=k{\rm e}^{k(x-1)}(-kx+2k-2).\]优先考虑 $k>0$ 的情形,此时 $f''(x)$ 在 $x=\dfrac{2k-2}k$ 处取得极大值,亦为最大值.因此函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减,即\[\forall x\in\mathbb R,f'(x)\leqslant 0\iff f'\left(\dfrac{2k-2}k\right)\leqslant 0\iff {\rm e}^{k-2}-1\leqslant 0\iff k\leqslant 2,\]因此 $k$ 的最大值为 $2$.

2、设函数 $g(x)=\ln\dfrac{x(2x-1)}{2-x}-2\left(x-\dfrac 1x\right)$,则其导函数\[g'(x)=\dfrac 1x+\dfrac{2}{2x-1}+\dfrac{1}{2-x}-2-\dfrac{2}{x^2},\]而\[\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2-x}-2\geqslant 0,\\ \dfrac{2}{2x-1}-\dfrac 2{x^2}\geqslant 0,\end{cases}\implies g'(x)\geqslant 0,\]等号当 $x=1$ 时取得,因此函数 $g(x)$ 在 $(1,2)$ 上单调递增,有 $g(x)>g(1)=0$,命题得证.

备注    注意将 $g(x)$ 写成\[g(x)=\ln x+\ln (2x-1)-\ln (2-x)-2x+\dfrac 2x.\]

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