每日一题[1554]阳光普照

若对平面上的某一格点，连接原点 $O$ 与该点的线段 $OP$ 上没有其他格点，称格点 $P$ 为自原点可见的．求证：平面上任意一点 $P$ 自原点可见的概率大于 $\dfrac 12$．

解析       考虑第一象限内的格点 $P(a,b)$，其自原点可见即 $(a,b)=1$．设任取两个正整数 $a,b$，其最大公约数为 $x$ 的概率

$$p(x)=\dfrac 1x\cdot \dfrac 1x\cdot p(1),$$ 即对于给定的正整数 $x$，$p(x)$ 等于 $a$ 是 $x$ 的倍数的概率，$b$ 是 $x$ 的倍数的概率以及 $\dfrac ax$ 与 $\dfrac bx$ 互质的概率之积．因此 $$\sum_{x=1}^{+\infty}\dfrac{p(1)}{x^2}=1,$$ 即 $$p(1)=\dfrac{1}{1+\dfrac 14+\dfrac 19+\cdots+\dfrac 1{x^2}+\cdots}>\dfrac1{1+\dfrac 1{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\dfrac1{(x-1)x}+\cdots}>\dfrac 12.$$

备注       事实上，有 $p(1)=\dfrac{6}{\pi^2}\approx 0.61$．