每日一题[1504]参数转化

已知 $a$ 为实数，函数 $f(x)=x\ln x-\dfrac 12ax^2-x+a$ 在其定义域内恰有两个不同的极值点 $x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$．若 $\lambda>0$，且 $\lambda\ln x_2-\lambda>1-\ln x_1$ 恒成立，求 $\lambda$ 的取值范围．

答案      $[1,+\infty)$．

解析      函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\ln x -ax,$$ 于是 $0<a<\dfrac{1}{\rm e}$ 且 $$1<x_1<{\rm e}<x_2,$$ 设 $t=\dfrac{x_2}{x_1}$，则 $t\in (1,+\infty)$，且 $$\begin{cases} \ln x_1=\dfrac{\ln t}{t-1},\\ \ln x_2=\dfrac{t\ln t}{t-1},\end{cases}$$ 因此题意即 $$\forall t>1,\lambda\cdot \dfrac{t\ln t}{t-1}-\lambda >1-\dfrac{\ln t}{t-1},$$ 也即 $$\forall t>1,\lambda (t\ln t-t+1)+\ln t-t+1>0,$$ 记左侧为 $g(t)$，则其导函数 $$g'(t)=\lambda \ln t+\dfrac 1t-1,$$ 其二阶导函数 $$g''(t)=\dfrac {\lambda t-1}{t^2},$$ 利用 $t=1$ 处的端点分析可得讨论分界点为 $\lambda =1$． [[case]]情形一[[/case]] $\lambda \geqslant 1$．此时在 $t\in (1,+\infty)$ 上，$g''(t)>0$，进而 $g'(t)>g'(1)=0$，进而 $g(t)>g(1)=0$，符合题意． [[case]]情形二[[/case]] $0<\lambda<1$．此时在 $t\in \left(1,\dfrac{1}{\lambda}\right)$ 上，$g''(t)<0$，进而 $g'(t)<g'(1)<0$，进而 $g(t)<g(1)=0$，不符合题意． 综上所述，$\lambda$ 的取值范围是 $[1,+\infty)$．