每日一题[1412]正四面体与圆锥面

等腰直角三角形 $ABE$ 的斜边为正四面体 $ABCD$ 的侧棱，直角边 $AE$ 绕斜边 $AB$ 旋转，则在旋转的过程中，下列说法正确的有（       ）

A．四面体 $E-BCD$ 的体积有最大值和最小值

B．存在某个位置，使得 $AE\perp BD$

C．设二面角 $D-AB-E$ 的平面角为 $\theta$，则 $\theta\geqslant \angle DAE$

D．$AE$ 的中点 $M$ 与 $AB$ 的中点 $N$ 连线交平面 $BCD$ 于点 $P$，则点 $P$ 的轨迹为椭圆

答案    ABD．

解析    如图．

如图，$E$ 的轨迹是以 $AB$ 的中点 $N$ 为圆心，所在平面与 $AB$ 垂直，半径 $r=\dfrac 12AB$ 的圆 $N$．

选项 A     设 $CD$ 的中点为 $T$，则 $NT>r$，于是圆 $N$ 与平面 $BCD$ 没有公共点，因此四面体 $E-BCD$ 的体积有最大值和最小值，命题正确．

选项 B     设 $\triangle BCD$ 的中心为 $H$，$BD$ 的中点为 $S$，则圆 $N$ 与平面 $AHS$ 的公共点位置就是使得 $AE\perp BD$ 的位置，命题正确．

选项 C     二面角 $D-AB-E$ 取 $0^\circ$ 时，显然有 $\theta<\angle DAE$，命题错误．

选项 D     本质即以 $N$ 为锥顶，$NM$ 为母线的圆锥面被平面 $BCD$ 所截得到的轨迹．由于旋转轴与母线所成的角为 $45^\circ$，而旋转轴与截面所成角为 $\angle TBA>45^\circ$，于是截得轨迹为椭圆，命题正确．