每日一题[1381]分解因式

在有理数范围内分解因式：$x^{15}-1=$ _______．

答案    $(x-1)(x^2+x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)$．

解析    考虑单位根 $\left(\dfrac{2k\pi}{15}:1\right)$（$k=0,1,2,\cdots,14$），因此

$$x^{15}-1=(x-1)(x^2+x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)\cdot f(x),$$ 进而 $$f(x)=\dfrac{(x-1)(x^{15}-1)}{(x^3-1)(x^5-1)}=x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1,$$ 从而 $$x^{15}-1=(x-1)(x^2+x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1).$$