在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为 $AC$ 的中点，$BH\perp AC$ 于 $H$，若 $\angle ABH=\angle DBC$，求证：$\angle ABC$ 为直角．
解法一 如图，不妨设 $BH=1$，$HA=a$，$HC=b$．
根据题意，有\[\tan\angle ABH=\tan \angle DBC,\]于是\[a=\dfrac{b-\dfrac{b-a}2}{1+b\cdot \dfrac{b-a}2},\]整理得\[ab=1,\]从而 $\triangle ABH$ 与 $\triangle BCH$ 相似，进而 $\angle ABC$ 为直角，与命题得证．
解法二 如图，延长 $BH$ 到 $E$，延长 $BD$ 到 $F$，且 $BH=HE$，$BD=DF$，连接 $CE,EF,CF$．
则有\[\left.\begin{split}\left.\begin{split} BD=DF,\\ AD=DC,\end{split}\right\}\implies AB\parallel CF\implies \angle ABD=\angle BFC,\\ \angle ABH=\angle DBC\implies \angle ABD=\angle EBC,\\ \left.\begin{split} BH=HE,\\ BE\perp AC,\end{split}\right\}\implies \angle EBC=\angle BEC,\end{split}\right\}\implies \angle BEC=\angle BFC,\]于是 $B,E,F,C$ 四点共圆，从而\[\angle BCF=180^\circ -\angle BEF=180^\circ -\angle BHC=90^\circ,\]因此四边形 $ABCF$ 为矩形，进而 $\angle ABC$ 为直角．