每日一题[1377]代数与几何

在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为 $AC$ 的中点，$BH\perp AC$ 于 $H$，若 $\angle ABH=\angle DBC$，求证：$\angle ABC$ 为直角．

解法一    如图，不妨设 $BH=1$，$HA=a$，$HC=b$．

根据题意，有

$$\tan\angle ABH=\tan \angle DBC,$$ 于是 $$a=\dfrac{b-\dfrac{b-a}2}{1+b\cdot \dfrac{b-a}2},$$ 整理得 $$ab=1,$$ 从而 $\triangle ABH$ 与 $\triangle BCH$ 相似，进而 $\angle ABC$ 为直角，与命题得证．

解法二    如图，延长 $BH$ 到 $E$，延长 $BD$ 到 $F$，且 $BH=HE$，$BD=DF$，连接 $CE,EF,CF$．

则有

$$\left.\begin{split}\left.\begin{split} BD=DF,\\ AD=DC,\end{split}\right\}\implies AB\parallel CF\implies \angle ABD=\angle BFC,\\ \angle ABH=\angle DBC\implies \angle ABD=\angle EBC,\\ \left.\begin{split} BH=HE,\\ BE\perp AC,\end{split}\right\}\implies \angle EBC=\angle BEC,\end{split}\right\}\implies \angle BEC=\angle BFC,$$ 于是 $B,E,F,C$ 四点共圆，从而 $$\angle BCF=180^\circ -\angle BEF=180^\circ -\angle BHC=90^\circ,$$ 因此四边形 $ABCF$ 为矩形，进而 $\angle ABC$ 为直角．