每日一题[1376]分析通项

已知 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N$，求证：${\rm e}^{n-1}\cdot n!<n^{n+\frac 12}$．

解析    题中不等式即 $$\left(n+\dfrac 12\right)\ln n-(\ln 2+\cdots+\ln n)-n+1>0,$$ 记左侧代数式为 $f(n)$．当 $n=2$ 时，有 $$f(2)=\dfrac 32\left(\ln 2-\dfrac 23\right)>0,$$ 命题成立．而 $$\begin{split} f(n+1)-f(n)&=\left(n+\dfrac 32\right)\ln (n+1)-\left(n+\dfrac 12\right)\ln n- \ln(n+1)-1\\ &=\left(n+\dfrac 12\right)\ln\left(1+\dfrac 1n\right)-1,\end{split}$$ 我们熟知当 $x>1$ 时，有 $$\ln x>\dfrac{2(x-1)}{x+1},$$ 令 $x=1+\dfrac 1n$，则 $$\ln\left(1+\dfrac 1n\right)>\dfrac{\dfrac 2n}{2+\dfrac 1n}=\dfrac {2}{2n+1},$$ 因此 $$\left(n+\dfrac 12\right)\ln \left(1+\dfrac 1n\right)-1>0,$$ 从而 $$f(n+1)>f(n)>0,$$ 因此 $f(n)$ 单调递增，从而命题成立．