已知 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N$，求证：${\rm e}^{n-1}\cdot n!<n^{n+\frac 12}$．
解析 题中不等式即\[\left(n+\dfrac 12\right)\ln n-(\ln 2+\cdots+\ln n)-n+1>0,\]记左侧代数式为 $f(n)$．当 $ n=2 $ 时，有\[f(2)=\dfrac 32\left(\ln 2-\dfrac 23\right)>0,\]命题成立．而\[\begin{split} f(n+1)-f(n)&=\left(n+\dfrac 32\right)\ln (n+1)-\left(n+\dfrac 12\right)\ln n- \ln(n+1)-1\\ &=\left(n+\dfrac 12\right)\ln\left(1+\dfrac 1n\right)-1,\end{split}\]我们熟知当 $x>1$ 时，有\[\ln x>\dfrac{2(x-1)}{x+1},\]令 $x=1+\dfrac 1n$，则\[\ln\left(1+\dfrac 1n\right)>\dfrac{\dfrac 2n}{2+\dfrac 1n}=\dfrac {2}{2n+1},\]因此\[\left(n+\dfrac 12\right)\ln \left(1+\dfrac 1n\right)-1>0,\]从而\[f(n+1)>f(n)>0,\]因此 $f(n)$ 单调递增，从而命题成立．