每日一题[1350]消元

已知 $x,y>0$，$xy\geqslant 1$，且 $x+y+\dfrac{10}{xy}=12$，则 $m=\dfrac{10}{x}+\dfrac{10}{y}+xy$ 的最小值为_______．

答案    $21$．

解析    根据题意，有 $$\begin{split} m&=\dfrac{10(x+y)}{xy}+xy\\ &=\dfrac{10\left(12-\dfrac{10}{xy}\right)}{xy}+xy\\ &=t-\dfrac{100}{t^2}+\dfrac{120}{t},\end{split}$$ 其中 $t=xy$，且 $$12-\dfrac{10}{t}=x+y\geqslant 2\sqrt{t}\geqslant 2,$$ 解得 $$1\leqslant t\leqslant \dfrac 52\left(7+3\sqrt 5\right),$$ 考虑到 $$m'_t=\dfrac{(t-10)(t+5+3\sqrt 5)(t+5-3\sqrt 5)}{t^3},$$ 于是 $m$ 的最小值为 $21$，当 $t=1$ 或 $t=10$ 时取得．