在 $\triangle ABC$ 中，$a,b,c$ 分别为 $\triangle ABC$ 的三边长，证明：\[a^2\left(\dfrac bc-1\right)+b^2\left(\dfrac ca-1\right)+c^2\left(\dfrac ab-1\right)\geqslant 0.\]
解析 原不等式即\[\sum_{cyc}a^3b(b-c)\geqslant 0,\]设 $a=y+z$，$b=z+x$，$c=x+y$，其中 $x,y,z>0$，则原不等式即\[\sum_{cyc}(y+z)^3(z+x)(z-y)\geqslant 0,\]也即\[\sum_{cyc}\left(x^5+xy^4-2x^3y^2\right)\geqslant 0,\]由均值不等式即得，因此原不等式得证．