比较大小：${\log_4}\dfrac 87$_______${\log_5}\dfrac 65$．（用 $>,<$ 填空）
答案 $<$．
解析 考虑到 $2^7=128$ 与 $5^3=125$ 接近，转化底数，有\[{\log_4}\dfrac 87=\dfrac 12{\log_2}\dfrac 87=\dfrac 12{\log_{128}}\left(\dfrac 87\right)^7,\]且\[{\log_5}\dfrac 65=\dfrac 12{\log_{125}}\left(\dfrac 65\right)^6,\]又\[\dfrac{\left(\dfrac 87\right)^7}{\left(\dfrac 65\right)^6}=\dfrac{512000000}{600362847}<1,\]于是\[{\log_4}\dfrac 87<{\log_5}\dfrac 65.\]
最后两个分数的幂的比较可以用对数来放缩：
因为
\[\begin{split}\ln\left(\dfrac 65\right) & =-\ln\left(\dfrac 56\right)=-\ln\left(1-\dfrac 16\right)>{\dfrac 16},\\
\ln\left(\dfrac 87\right) & =\ln\left(1+\dfrac 17\right)<{\dfrac 17},\end{split}\]
所以
\[7\ln\left(\dfrac 87\right)<1<6\ln\left(\dfrac 65\right),\]
即
\[\left(\dfrac 87\right)^7<\left(\dfrac 65\right)^6.\]
或者，根据均值不等式
\[\left(\dfrac{n-1}n\right)^n=1\cdot\left(\dfrac{n-1}n\right)^n<\left(\dfrac{1+\dfrac{n-1}n\cdot n}{n+1}\right)^{n+1}=\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n+1},\]
即数列$\left\{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n+1}\right\}$单调递减（事实上收敛于$\rm e$）。因此
\[\left(\dfrac 87\right)^7<\left(\dfrac 87\right)^8<\left(\dfrac 65\right)^6.\]
这个好，可以用来讲重要极限．我这的解法二就是后面用的对数放缩：），赞！
试了两次，开头的公式总是显示不正确。。
看看我的代码有什么问题？
\[\begin{split}\ln\left(\dfrac 87\right) & =\ln\left(1+\dfrac 17\right){\dfrac 16},\end{split}\]
不好意思，刷屏了，实在忍不住debug 🙂
好像在同一个公式里，前面有个“小于号”，后面有个“大于号”，中间的部分就被忽略了。把两个不等式的位置换一下，把“大于号”放前面，“小于号”放后面，就没问题了。我在local测试mathjax没有这个问题。
供参考。
这是WP的问题，暂时没有好的处理方法，后台的方案是先将用转义符<和>替换．
最后两个分数的幂的比较可以用对数来放缩：
因为
\[\begin{split}\ln\left(\dfrac 87\right) & =\ln\left(1+\dfrac 17\right){\dfrac 16},\end{split}\]
所以
\[7\ln\left(\dfrac 87\right)<1<6\ln\left(\dfrac 65\right),\]
即
\[\left(\dfrac 87\right)^7<\left(\dfrac 65\right)^6.\]
最后两个分数的幂的大小比较可以用对数来放缩：
因为
\[\ln\left(\frac 87\right)=\ln\left(1+\frac 17\right)\frac 16,\]
所以
\[7\ln\left(\frac 87\right)<1<6\ln\left(\frac 65\right),\]
即
\[\left(\frac 87\right)^7<\left(\frac 65\right)^6.\]