每日一题[1281]谁主沉浮

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=p$，$a_2=p+1$，$a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=n-20$，其中 $p$ 是给定的实数，$n$ 是正整数，当 $a_n$ 的值最小时，$n$ 的值是_______．

答案    $40$．

解析    令 $n=1$，有 $$a_3-2a_2+a_1=-19,$$ 于是 $$a_3=p-18,$$ 记 $b_n=a_{n+1}-a_n$，则 $b_1=1$，且 $$b_{n+1}-b_n=n-20,$$ 于是 $$b_{n+1}-1=\dfrac 12n(n+1)-20n,$$ 即 $$b_{n+1}=\dfrac{n^2-39n+2}2,$$ 于是当 $n\leqslant 38$ 时，$b_{n+1}<0$，当 $n\geqslant 39$ 时，$b_{n+1}>0$，这就意味着 $$\begin{cases} a_2>a_3>\cdots>a_{40},\\ a_{40}<a_{41}<\cdots,\end{cases}$$ 结合 $a_1<a_3$，可得 $a_{40}$ 是数列中的最小项．