每日一题[1248]相关直线

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{3y^2}{a^2}=1$（$a>0$），点 $P,Q,R$ 在椭圆 $C$ 上，点 $R$ 到直线 $OP,OR$ 的距离均等于 $\dfrac 12a$，直线 $OP,OQ$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$．

1、求 $k_1\cdot k_2$ 的值；

2、求证：$|OP|\cdot |OQ|\leqslant \dfrac 23a^2$．

解析

1、设 $R\left(a\cos\theta,\dfrac{a}{\sqrt 3}\sin\theta\right)$，$OP:k_1x-y=0$，$OQ:k_2x-y=0$，则根据题意，$k_1,k_2$ 是关于 $k$ 的方程 $$\dfrac{\left|ka\cos\theta-\dfrac{a}{\sqrt 3}\sin\theta\right|}{\sqrt{k^2+1}}=\dfrac 12a$$ 的两个实根，该方程即 $$\left(\cos^2\theta-\dfrac 14\right)k^2-\dfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sqrt 3}\cdot k+\dfrac 13\sin^2\theta-\dfrac 14=0,$$ 于是 $$k_1\cdot k_2=\dfrac{\dfrac 13\sin^2\theta-\dfrac 14}{\cos^2\theta-\dfrac 14}=\dfrac{\dfrac 13\sin^2\theta-\dfrac 14}{\dfrac 34-\sin^2\theta}=-\dfrac 13.$$

2、根据题意，有 $$\begin{split} |OP|\cdot |OQ|&=\sqrt{1+k_1^2}\cdot \dfrac{a}{\sqrt{1+3k_1^2}}\cdot \sqrt{1+k_2^2}\cdot \dfrac{a}{\sqrt{1+3k_2^2}}\\ &=\sqrt{\dfrac{(1+k_1^2)(1+k_2^2)}{(1+3k_1^2)(1+3k_2^2)}}\cdot a^2\\ &=\sqrt{\dfrac{\dfrac{10}{9}+(k_1^2+k_2^2)}{2+3(k_1^2+k_2^2)}}\cdot a^2\\ &=\sqrt{\dfrac 13+\dfrac{4}{18+27(k_1^2+k_2^2)}}\cdot a^2\\ &\leqslant \sqrt{\dfrac 13+\dfrac{4}{18+27\cdot \dfrac 23}}\cdot a^2\\ &=\dfrac 23a^2,\end{split}$$ 原命题得证．