已知 a,b>0,且 a+b⩾3,则 m=2a2+b2+28a+1b 的最小值是_______.
答案 3.
解析 利用拉格朗日乘数法,令F(a,b,λ)=2a2+b2+28a+1b+λ(a+b−3),则{4a−28a2+λ=0,2b−1b2+λ=0,a+b−3=0,解得(a,b,λ)=(2,1,−1). 考虑切线放缩,有{2a2+28a⩾a+20,b2+1b⩾b+1,于是m⩾(a+b)+21⩾24,等号当且仅当 (a,b)=(2,1) 时取得.因此所求的最小值为 3.
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