每日一题[1163]隐藏的定值

已知 $P$ 是圆 $x^2+y^2=1$ 上一点，且不在坐标轴上，$A(1,0)$ 和 $B(0,1)$ 是坐标轴上的两点，直线 $PA$ 与 $y$ 轴交于点 $M$，直线 $PB$ 与 $x$ 轴交于点 $N$，则 $|AN|+2|BM|$ 的最小值为_______．

解    设 $P(\cos\theta,\sin\theta)$，且 $\theta\ne\dfrac{k\pi}{2},k\in\mathbb Z$，则根据截距坐标公式，有

$$M\left(0,\dfrac{\sin\theta}{1-\cos\theta}\right),N\left(\dfrac{\cos\theta}{1-\sin\theta},0\right),$$ 因此，可得 $$|AN|=\left|\dfrac{\cos\theta+\sin\theta-1}{1-\sin\theta}\right|,|BM|=\left|\dfrac{\sin\theta+\cos\theta-1}{1-\cos\theta}\right|,$$ 两式相乘，得 $$|AN|\cdot|BM|=2,$$ 根据均值不等式，有 $$|AN|+2|BM|\geqslant2\sqrt{|AN|\cdot2|BM|}=4,$$ 当且仅当 $P\left(\dfrac35,\dfrac45\right)$ 时，等号成立，故 $|AN|+2|BN|$ 的最小值为 $4$．