每日一题[1145]披着向量的外衣

已知单位向量 $\overrightarrow a$ 与 $\overrightarrow b$ 的夹角为 $\dfrac{\pi}3$，设向量 $\overrightarrow c=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b$，其中 $x,y\in\mathbb R$，若 $\left|\overrightarrow c-\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=1$，则 $x+2y$ 的取值范围为________．

正确答案是$[1,5]$．

分析与解　根据题意，有 $$\left|(x-1)\overrightarrow a+(y-1)\overrightarrow b\right|=1,$$ 因此 $$(x-1)^2+(x-1)(y-1)+(y-1)^2=1.$$ 记 $(m,n)=(x-1,y-1)$，则 $$x+2y=m+2n+3,$$ 其中 $$m^2+mn+n^2=1.$$ 令 $t=m+2n$，则 $m=t-2n$，因此 $$3n^2-3tn+t^2-1=0,$$ 其判别式 $$\Delta=-3(t+2)(t-2)\geqslant 0,$$ 解得 $t$ 的取值范围是 $[-2,2]$，因此所求代数式的取值范围是 $[1,5]$．

注　已知 $m^2+mn+n^2=1$，求 $m+2n$ 的取值范围也可以通过三角换元解决：
因为 $$\left(m+\dfrac n2\right)^2+\dfrac 34n^2=1,$$ 所以令 $$m+\dfrac n2=\cos\theta,n=\dfrac 2{\sqrt 3}\sin\theta,$$ 从而有 $$m+2n=\cos\theta+\sqrt 3\sin\theta=2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}6\right)\in[-2,2].$$