如图，点 \(P\) 是正方体 \(ABCD\) 外的一点，过点 \(P\) 作直线 \(l\)，记直线 \(l\) 与直线 \(AC_1,BC\) 的夹角分别为 \(\theta_1,\theta_2\)，若 \(\sin\left(\theta_1-50^\circ\right)=\cos\left(140^\circ-\theta_2\right)=\dfrac 12\)，则满足条件的直线 \(l\) 的条数为（ ）
A．\(1\)
B．\(2\)
C．\(3\)
D．\(4\)
正确答案是D．
分析与解 易知 \(\theta_1=\theta_2=80^\circ\)，而 \(AC_1\) 与 \(BC\) 所成的角为 \(\arctan\sqrt 2\)，且\[45^\circ<\arctan\sqrt 2<60^\circ.\]题意即过空间一点 \(P\) 且与所成角为 \(\arctan\sqrt 2\) 的两条直线所成角均为 \(80^\circ\) 的直线条数．
将所有直线都平移，使之都过点 \(P\)，如图．设 \(\langle l_1,l_2\rangle =\arctan \sqrt 2\)，取 \(l_1,l_2\) 的一条角平分线将其绕 \(P\) 点旋转至与 \(l_1,l_2\) 都垂直，则在旋转过程中 \(l\) 与 \(l_1,l_2\) 所成的角始终相等，且从 \(\dfrac 12\arctan\sqrt 2\) 变化到 \(90^\circ\)．类似的，取 \(l_1,l_2\) 的另一条角平分线（在 \(l_1,l_2\) 所确定的平面内且与如图所示角平分线垂直），则旋转过程中 \(l\) 与 \(l_1,l_2\) 所成的角始终相等，且从 \(90^\circ-\dfrac 12\arctan\sqrt 2\) 变化到 \(90^\circ\)．考虑到\[\dfrac 12\arctan\sqrt 2<80^\circ,90^\circ-\dfrac 12\arctan\sqrt 2<80^\circ,\]因此两个旋转过程中都存在符合题意的直线．结合对称性可知，满足条件的直线共有 \(4\) 条．
一般结论：若直线 \(l_1,l_2\) 所成的角为 \(\alpha\)，空间中过点 \(P\) 且与 \(l_1,l_2\) 所成角均为 \(\theta\) 的直线条数\[n=\begin{cases} 1,&\theta=90^\circ,\\4,&90^\circ-\dfrac \alpha 2<\theta<90^\circ,\\3,&\theta=90^\circ-\dfrac \alpha 2,\\2,&\dfrac \alpha 2<\theta<90^\circ-\dfrac \alpha 2,\\1,&\theta=\dfrac \alpha 2,\\0,&0\leqslant \theta<\dfrac \alpha 2.\end{cases} \]