若函数 \(f(x)=x^2(x-4)^2-a|x-2|+2a\) 有 \(4\) 个零点，则实数 \(a\) 的取值范围是__________．
正确答案是\(\left\{-\dfrac{256}{27}\right\}\cup(-8,0)\cup(0,+\infty)\)．
分析与解 注意到\[f(x)=\left[(x-2)^2-4\right]^2-a\big( |x-2|-2\big),\]令 \(t=|x-2|-2\)，则函数 \(y=f(x)\)，即\[y=t^2(t+4)^2-at.\]函数 \(y=|x-2|-2\) 与直线 \(y=t\) 的公共点个数 \(n_t\) 与 \(t\) 的取值之间的对应关系是\[\begin{array}{c|ccc} \hline t&(-\infty,-2)&-2&(-2,+\infty)\\ \hline n_t&0&1&2 \\ \hline\end{array}\]
因为 \(t=0\) 时对应函数的两个零点，所以函数 \(\varphi(t)=t(t+4)^2\) 与直线 \(y=a\) 在 \(t\in(-2,+\infty)\) 上的公共点有且只有一个，且不为零，不为 \(-2\)．函数 \(\varphi(t)\) 的导函数\[\varphi'(t)=(t+4)\left(3t+4\right),\]因此图象如图．
由此得到实数 \(a\) 的取值范围是 \(\left\{-\dfrac{256}{27}\right\}\cup(-8,0)\cup(0,+\infty)\)．