每日一题[1040]组合数等式的两面

求证：$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}k(n-k)={\rm C}_{n+1}^3$．

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分析与证明　法一　设想 $n+1$ 名同学排成一队，记为 $a_1,a_2,\cdots,a_{n+1}$．将其中第 $k+1$ 名同学选出，然后从排在这名同学之前的 $k$ 名同学中选出一名，从排在这名同学之后的 $n-k$ 名同学中选出一名，组成一个三人小组，不同的选法有

$$1\cdot (n-1)+2\cdot (n-2)+\cdots+(n-1)\cdot 1,$$ 如图．

而此三人小组同时亦为从这 $n+1$ 名同学中选出 $3$ 人构成的组合数，因此

$$\sum_{k=1}^{n-1}k(n-k)={\rm C}_{n+1}^3.$$

法二　根据题意，有

$$\begin{split}\sum_{k=1}^{n-1}k(n-k)&=\sum_{k=1}^{n-1}k[(n+1)-(k+1)]\\&=(n+1)\sum_{k=1}^{n-1}k-\sum_{k=1}^{n-1}k(k+1),\\&=(n+1)\sum_{k=1}^{n-1}{\rm C}_k^1-2\sum_{k=1}^{n-1}{\rm C}_{k+1}^2\\&=(n+1){\rm C}_n^2-2{\rm C}_{n+1}^3\\&=3{\rm C}_{n+1}^3-2{\rm C}_{n+1}^3\\&={\rm C}_{n+1}^3.\end{split}$$