每日一题[1002]零点分布

已知关于$x$的方程${\rm e}^{-x}+2=|\ln x|$的两个实数解为$x_1,x_2$($x_1<x_2$)，则(　　)
A．$0<x_1x_2<{\rm e}^{-1}$
B．$x_1x_2={\rm e}^{-1}$
C．${\rm e}^{-1}<x_1x_2<1$
D．以上答案都不对

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正确答案是C．

分析与解　记函数$f(x)={\rm e}^{-x}+2$与函数$g(x)=|\ln x|$的公共点分别为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，如图．

根据题意，有

$$\begin{aligned}y_1&={\rm e}^{-x_1}+2=-\ln x_1, \\ y_2&={\rm e}^{-x_2}+2=\ln x_2,\end{aligned}$$ 容易判断$x_1>0$，于是$y_1<3$，从而$2<y_2<y_1<3$，因此 $$0<y_1-y_2<1,$$ 即 $$0<-\ln x_1-\ln x_2<1,$$ 也即${\rm e}^{-1}<x_1x_2<1$．

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下面给出一道练习：

已知函数 $f(x)={\log_4}x-\left(\dfrac 14\right)^x$ 和函数 $g(x)={\log_{\frac 14}}x-\left(\dfrac 14\right)^x$ 的零点分别为 $x_1,x_2$，则（　　）

A．$0<x_1x_2<1$
B．$x_1x_2=1$
C．$1<x_1x_2<2$
D．$x_1x_2\geqslant 2$

解　正确答案是A．

分别作函数 $y={\log_4}x$、$y={\log_{\frac 14}}x$ 与 $y=\left(\dfrac 14\right)^x$ 的图象，得到 $0<x_2<1<x_1$．又因为

$${\log_4}x_1-{\log_{\frac 14}}x_2={\log_4}\left(x_1x_2\right)=\left(\dfrac 14\right)^{x_1}-\left(\dfrac 14\right)^{x_2}<0,$$ 所以 $x_1x_2<1$．