每日一题[826]数列递推与放缩

已知数列$a_1=\dfrac 12$，$a_{n+1}=\dfrac{na_n+a_n^2}{n+1}$，$b_n=na_n$．

(1) 求证：$\{a_n\}$是递减数列；

(2) 对任意的$n\in\mathbb N^*$，都有$b_n\leqslant \dfrac 32$．

分析与解　(1) 利用数学归纳法易证$\forall n\in\mathbb N^*,a_n<1$．于是 $$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{n+a_n}{n+1}<1,$$ 命题得证．

(2) 根据题意，有 $$b_{n+1}=b_n+\dfrac{b_n^2}{n^2},$$ 于是 $$\dfrac{1}{b_n}-\dfrac{1}{b_{n+1}}=\dfrac{1}{b_n+n^2}.$$ 当$n\geqslant 2$时，有 $$\begin{split} \dfrac{1}{b_1}-\dfrac{1}{b_n}&=\dfrac{1}{b_1+1^2}+\dfrac{1}{b_2+2^2}+\cdots+\dfrac{1}{b_{n-1}+(n-1)^2}\\&\leqslant \dfrac 23+\sum_{k=2}^{n-1}\dfrac{1}{-\dfrac 14+k^2}\\&\leqslant \dfrac 43,\end{split}$$
因此有 $$\dfrac{1}{b_n}\geqslant \dfrac{1}{b_1}-\dfrac 43=\dfrac 23,$$ 即$b_n\leqslant \dfrac 32$．