每日一题[751]向量坐标化

已知$\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {a}=\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow {c}=\dfrac 12\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {c}=1$，则$\left|\overrightarrow {a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow {c}\right|$的取值范围是________．

分析与解　$[4,+\infty)$．

向量$\overrightarrow {a},\overrightarrow {b},\overrightarrow {c}$的位置关系不容易直接通过图形表达，选择用坐标表达：

因为$\overrightarrow {a}$为单位向量，可设$\overrightarrow {a}=(1,0)$，则由题中条件知可设 $$\overrightarrow {b}=(1,x),\overrightarrow {c}=(2,y),$$ 由$\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow {c}=1$知$2+xy=1$，即$y=-\dfrac 1x$．

从而有 $$\left|\overrightarrow {a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow {c}\right|=\left|(1,0)+(1,x)+\left(2,-\dfrac 1x\right)\right|=\sqrt{16+\left(x-\dfrac 1x\right)^2}\geqslant 4.$$ 当$x=\pm 1$时等号成立．

最后给出一道练习：

已知平面向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow e$满足$|\overrightarrow e|=1$，$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e=1$，$\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e=2$，$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|=2$，则$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$的最小值为_______．

正确答案是$\dfrac 54$．