已知$\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {a}=\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow {c}=\dfrac 12\overrightarrow {a}\cdot\overrightarrow {c}=1$，则$\left|\overrightarrow {a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow {c}\right|$的取值范围是________．
分析与解 $[4,+\infty)$．
向量$\overrightarrow {a},\overrightarrow {b},\overrightarrow {c}$的位置关系不容易直接通过图形表达，选择用坐标表达：
因为$\overrightarrow {a}$为单位向量，可设$\overrightarrow {a}=(1,0)$，则由题中条件知可设$$\overrightarrow {b}=(1,x),\overrightarrow {c}=(2,y),$$由$\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow {c}=1$知$2+xy=1$，即$y=-\dfrac 1x$．
从而有$$\left|\overrightarrow {a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow {c}\right|=\left|(1,0)+(1,x)+\left(2,-\dfrac 1x\right)\right|=\sqrt{16+\left(x-\dfrac 1x\right)^2}\geqslant 4.$$当$x=\pm 1$时等号成立．
最后给出一道练习：
已知平面向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow e$满足$|\overrightarrow e|=1$，$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e=1$，$\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e=2$，$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|=2$，则$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$的最小值为_______．
正确答案是$\dfrac 54$．