每日一题[723]从图形角度看不等式

(2012年新课标I卷理科数学第21题)已知函数$f(x)$满足$f(x)=f'(1){\rm e}^{x-1}-f(0)x+\dfrac 12x^2$．
(1) 求$f(x)$的解析式及单调区间；
(2) 若$f(x)\geqslant \dfrac 12x^2+ax+b$，求$(a+1)b$的最大值．

分析与解　(1) 根据题意，函数$f(x)$的导函数 $$f'(x)=f'(1){\rm e}^{x-1}-f(0)+x,$$ 分别令$x=1$和$x=0$，可得$f(x)={\rm e}^x-x+\dfrac 12x^2$．进而其导函数 $$f'(x)={\rm e}^x-1+x,$$ 于是函数$f(x)$的单调递增区间是$(0,+\infty)$，单调递减区间是$(-\infty,0)$．

(2) 根据题意，有 $${\rm e}^x\geqslant (a+1)x+b.$$ 取函数$y={\rm e}^x$的斜率为$a+1$的切线，设切点为$t$，则切线方程为 $$y={\rm e}^t(x-t)+{\rm e}^t,$$ 其中${\rm e}^t=a+1$．易知 $${\rm e}^x\geqslant {\rm e}^tx+(1-t){\rm e}^t,$$ 等号当且仅当$x=t$时取得．因此$b\leqslant (1-t){\rm e}^t$．由于$a+1={\rm e}^t>0$，于是 $$(a+1)b\leqslant {\rm e}^t\cdot (1-t){\rm e}^t,$$ 记右侧函数为$\varphi(t)$，则其导函数 $$\varphi'(t)={\rm e}^{2t}(1-2t),$$ 于是当$t=\dfrac 12$时，$\varphi(t)$取得极大值，亦为最大值$\dfrac 12{\rm e}$．于是$(a+1)b$的最大值为$\dfrac 12{\rm e}$，此时$a=\sqrt{\rm e}-1$，$b=\dfrac 12\sqrt{\rm e}$．

思考与总结　从图形的角度看待题中的不等式，将含有两个变元的式子$(a+1)b$转化为只含一个变元$t$的式子．

下面给出一道练习：

练习　已知$f(x)=\ln (ax+b)$，且$a\neq 0$．若在$f(x)$的定义域内恒有$f(x)\leqslant x$，求$a(a+b)$的最大值．

答案　$\dfrac 12{\rm e}^3$．

提示　$a<0$时不等式显然不会恒成立，只考虑$a>0$，此时有 $$\ln(ax+b)\leqslant x-\dfrac {a-b}{a}+\ln a,$$ 等号当且仅当$x=\dfrac{a-b}{a}$时取到，从而得到$b\leqslant a-a\ln a$，有 $$a(a+b)\leqslant 2a^2-a^2\ln a,$$ 右边的式子的最大值为$\dfrac 12{\rm e}^3$．