每日一题[574]模长的最大值

已知复数$z$满足$|z|=1$，则$\big|z^3+3z+2{\rm i}\big|$的最大值是______．

分析与解　由于 $$\big|z^3+3z+2{\rm i}\big|=\big|(z{\rm i})^3-3(z{\rm i})+2\big|,$$ 因此问题等价于已知$|z|=1$，求$\big|z^3-3z+2\big|$的最大值．利用共轭复数，有 $$\begin{split} &\big|z^3-3z+2\big|^2\\=&\left(z^3-3z+2\right)\cdot\left(\overline z^3-3\overline z+2\right)\\ =&14+2\left(z^3+\overline z^3\right)-3\left(z^2+\overline z^2\right)-6\left(z+\overline z\right) \\ =&14+2\left(z+\overline z\right)\cdot\left[\left(z+\overline z\right)^2-3z\cdot \overline z\right]-3\left[\left(z+\overline z\right)^2-2z\cdot \overline z\right]-6\left(z+\overline z\right)\\ =&2x^3-3x^2-12x+20,\end{split}$$ 其中$x=z+\overline z=2{\rm Re}(z)$，且$x\in [-2,2]$，设 $$f(x)=2x^3-3x^2-12x+20,$$ 则 $$f'(x)=6(x+1)(x-2),$$ 于是当$x=-1$时，$f(x)$取得最大值为$27$．因此原式的最大值为$3\sqrt 3$，当$z=-\dfrac 12\pm \dfrac{\sqrt 3}2{\rm i}$时取得．

注　共轭复数是处理有关复数的模的问题的一大利器．